Теорема о сумме углов треугольника

В этой главе мы снова обращаемся к треугольникам и будем обсуждать различные их свойства, при этом большое внимание уделим прямоугольным треугольникам, т. е. таким треугольникам, у которых один угол прямой. Некоторые свойства прямоугольных треугольников находят практическое применение, например, в конструкциях уголковых отражателей, которые широко используются в различных устройствах — от велосипедов до космических аппаратов. Об этом также будет рассказано в данной главе.

Докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему о сумме углов треугольника.

Теорема

Сумма углов треугольника равна 180°.

Доказательство

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что

∠A+∠B+∠C= 180°.

Проведём через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис. 125, а). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ, а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому

∠4 = ∠1, ∠5 = ∠3. (1)

рис. 125

Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развёрнутому углу с вершиной В, т. е. ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°. Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°, или ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Теорема доказана.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Обратимся к рисунку 125, б, на котором угол 4 — внешний угол, смежный с углом 3 данного треугольника. Так как ∠4 + ∠3 = 180°, а по теореме о сумме углов треугольника (∠1+ ∠2) + ∠3 = 180°, то ∠4 = ∠1 + ∠2, что и требовалось доказать.